تتعرف على العلاقة بمقارنة نقطتين لا بشكل المنحنى: خذ x بضعف المقدار وانظر ماذا تفعل y. أربعة أضعاف تعني التناسب الطردي مع المربع، ونصف يعني التناسب العكسي، وربع يعني التناسب العكسي مع المربع، وأكبر بجذر اثنين يعني علاقة الجذر التربيعي. والثابت تحدده من عدة نقاط، وتقرأ من وحدته ما يعنيه.
يمكن الاستماع إلى هذا الفيديو أيضًا بـEnglish و Türkçe. تتوفر أيضًا ترجمة بـالعربية, Español, Français, Português و Kiswahili. اختر لغتك من رمز الترس في المشغّل، عند مسار الصوت و الترجمة.
تقود بضعف السرعة ثم تكبح. فهل تصير مسافة الكبح ضعفين أم أربعة أضعاف؟ لا تحسب، اختر.
في خمس دقائق تتعلم التعرف على أربع علاقات وحساب ثابتها. وابدأ بالخط المستقيم، ففيه أمران مختلفان: y تساوي a في x زائد b علاقة خطية، أما إن مر الخط بنقطة الأصل فصار b صفرًا وحصلت على التناسب الطردي، وعندها فقط يعطي الضعف الضعف.
وإن لم يكن الرسم مستقيمًا فلا تعرف الصورة من شكلها، فالمنحني منحنٍ. بل قارن نقطتين: خذ x بضعف المقدار وانظر ماذا تفعل y. أربعة أضعاف يعني التناسب الطردي مع المربع، ونصفًا يعني التناسب العكسي، وربعًا يعني التناسب العكسي مع المربع، وأكبر بجذر اثنين يعني علاقة الجذر التربيعي. ثم تحسب الثابت من عدة نقاط لا من واحدة، وتنظر إلى وحدته، فهي تقول ما يعنيه.
لطلاب المرحلة الثانوية، ضمن المهارات الأساسية.
في هذا الفيديو
الشرح كاملًا مكتوبًا
بضعف السرعة
0:00تقود بضعف السرعة ثم تكبح. فهل تصير مسافة الكبح ضعفين أم أربعة أضعاف؟ لا تحسب. اختر.
الخطي والتناسب الطردي ليسا سواء
0:13ابدأ بالخط المستقيم، ففيه أمران مختلفان. كنت قد قست ارتفاع كومة كتبي عن الأرض. وذلك الرسم البياني خط مستقيم، لكنه يبدأ عند أربعة وسبعين سنتيمترًا، فتلك طاولتي. وللخط المستقيم: y تساوي a في x، زائد b. وذلك يسمى علاقة خطية. و a هي الميل، و b حيث تقطع المحور الرأسي.
0:41وإن قست بدلًا من ذلك ارتفاع الكومة نفسها، سقطت الطاولة. صفر كتب، صفر سنتيمتر، فيمر خطي بنقطة الأصل. عندها b صفر، فيبقى لي: y تساوي a في x. وهذه الحالة الخاصة لها اسم خاص: التناسب الطردي. فضعف الكتب يعطي حينها ضعف الارتفاع فعلًا. وفي الرسم الأول لا يصح ذلك، لأن تلك الطاولة تحته.
التعرف على أربعة منحنيات
1:13وإن لم يكن رسمك خطًا مستقيمًا، فهناك أربع صور عليك أن تعرفها. ولا تعرفها من شكلها، فالمنحني منحنٍ. بل تعرفها بمقارنة نقطتين. خذ x بضعف المقدار، وانظر ماذا تفعل y. إن صارت y أربعة أضعاف، فهو التناسب الطردي مع المربع: y تساوي a في x تربيع.
1:38وتلك مسافة الكبح، فالجواب أربعة أضعاف. وإن صارت y نصفًا، فهو التناسب العكسي: y تساوي a مقسومة على x. تخيّل رحلة بطول ثابت: فضعف السرعة نصف الزمن. وإن صارت y ربعًا، فهو التناسب العكسي مع المربع: y تساوي a مقسومة على x تربيع. هكذا يعمل ضوء مصباح حين تبتعد عنه.
2:08وإن صارت y أكبر بجذر اثنين فقط، فهي علاقة الجذر التربيعي: y تساوي a في جذر x. كالزمن الذي يحتاجه شيء ليسقط. تقيس شيئًا وترى: إن صارت x ضعفين، صارت y ربعًا. فأي علاقة هذه؟
تحديد الثابت a
2:29وإن عرفت أي علاقة هي، استطعت حساب الثابت a. وذلك بطريقتين. من جدولك: احسب a لكل قياس على حدة، ثم خذ متوسطها. أو من رسمك البياني: اختر نقطتين ليستا متقاربتين، واحسب a لكليهما، وإن اختلفتا، فأضف ثالثة. قدت مئة وعشرين كيلومترًا. عند أربعين كيلومترًا في الساعة استغرق ذلك ثلاث ساعات، وعند ستين ساعتين، وعند ثمانين ساعة ونصفًا.
3:03وهذا تناسب عكسي، إذن a تساوي v في t. أربعون في ثلاثة يساوي مئة وعشرين. وستون في اثنين يساوي مئة وعشرين. وثمانون في واحد ونصف: مئة وعشرون. إذن a تساوي مئة وعشرين كيلومترًا، وتلك بالضبط المسافة التي قدتها. وإن حصلت على صفر فاصلة صفر سبعة خمسة، فقد قسمت الزمن على السرعة بدل أن تضرب.
3:27فذلك هو الجميل في ذلك الثابت: فهو لا يكاد يكون مجرد عدد. ووحدته تخبرك ما هو.
ثلاثة أشياء للتذكر
3:38ثلاثة أشياء. الخط المستقيم خطي؛ وإن مر بنقطة الأصل أيضًا، فهو تناسب طردي، وعندها فقط تقول إن الضعف يعطي الضعف. والمنحني تعرفه بمضاعفة x والنظر ماذا تفعل y: أربعة أضعاف، أو نصفًا، أو ربعًا، أو أكبر بجذر اثنين. والثابت تحدده من عدة نقاط، لا من واحدة أبدًا.
4:05ثم انظر إلى وحدته، فهي تقول ما يعنيه.
سؤالان
4:09سؤالان. أولًا. رسم بياني خط مستقيم تمامًا، لكنه يقطع المحور الرأسي عند خمسة. أتقول إن y تتناسب طرديًا مع x؟ ثانيًا. تضاعف x فتصير y أربعة أضعاف. تحسب a بنقطة واحدة فتحصل على ثلاثة. فماذا تفعل؟
الإجابات
4:38الأول: لا. فهو خطي، لكنه ليس تناسبًا طرديًا، لأنه لا يمر بنقطة الأصل. ضاعف x وانظر: لا تصير y الضعف، لأن تلك الخمسة تبقى مضافة. والثاني: تأخذ نقطة ثانية. فالنقطة الواحدة تعطيك عددًا دائمًا، حتى إن اخترت العلاقة الخطأ. وإن أعطت نقطتان a نفسها، عرفت أنك على صواب.
الختام
5:04والرسم البياني المنحني صعب أن تقرأ منه ثابتًا. وحين تريد أن تجعل ذلك المنحني مستقيمًا، دون تغيير قياس واحد، ستحتاج هذا بالضبط.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين العلاقة الخطية والتناسب الطردي؟
الخط المستقيم علاقة خطية دائمًا: y تساوي a في x زائد b. لكنه لا يكون تناسبًا طرديًا إلا إذا مر بنقطة الأصل، أي إن كان b صفرًا. وعندها فقط يجوز أن تقول إن الضعف يعطي الضعف: فإن قطع المحور الرأسي عند خمسة بقيت تلك الخمسة مضافة.
كيف تتعرف على منحنى؟
لا من شكله، فالمنحني منحنٍ، بل بمقارنة نقطتين. ضاعف x وانظر ماذا تفعل y: أربعة أضعاف تناسب طردي مع المربع، نصف تناسب عكسي، ربع تناسب عكسي مع المربع، وأكبر بجذر اثنين علاقة الجذر التربيعي.
لماذا تحدد الثابت من عدة نقاط؟
لأن نقطة واحدة تعطيك عددًا دائمًا، حتى إن اخترت العلاقة الخطأ. ولا تعرف أنك على صواب إلا إذا أعطت نقطتان الثابت نفسه، فإن اختلفتا فأضف ثالثة. ويمكنك أيضًا حسابه لكل قياس على حدة وأخذ المتوسط.
لماذا تنظر إلى وحدة الثابت؟
لأنه لا يكاد يكون مجرد عدد. في رحلة بطول ثابت يكون a تساوي v في t، ويخرج مئة وعشرين كيلومترًا، وتلك بالضبط المسافة التي قدتها. فوحدته تخبرك ما هو.
قناة Physics with Thomas تقدّم شروحًا في الفيزياء لطلاب المرحلة الثانوية. لا توجد كلمات على الشاشة، فما تراه يعمل بأي لغة.
في هذه السلسلة
الكميات والوحداتلماذا ٢٠٠٠٠ ليست أكثر من ١٠٠٠٠7:30
النسب والنسب المئويةجدول واحد لكليهما3:15
الترميز العلمي ورتبة المقدارقوى العشرة5:22
الحساب بقوى العشرةالقواعد الأربع3:18
فيثاغورس والجيب وجيب التمام والظلأي ضلع مع أي زاوية3:19
اشتقاق الوحدات من الصيغةالتحويل إلى الوحدات الأساسية7:47
الأرقام المعنوية وعدم التأكدكم رقمًا تكتب6:24
خط أفضل مطابقة والاستكمالالخط لا يمر بأي نقطة5:07
التعرف على العلاقات والثابتضعف السرعة عند الكبح5:20
جعل الرسم البياني مستقيماًقياساتك لا تتغير4:41
نبذة عني
اسمي توماس سخورمانس، ولديّ شغف بالفيزياء وبفهم لماذا تعمل الأشياء بالطريقة التي تعمل بها. ما أريده هو أن يسأل الشباب أكثر: “لماذا هذا؟” و“كيف يعمل هذا؟”، وأن أعطيهم أدوات الفيزياء بطريقة سهلة ويمكن رؤيتها.
تخرّجت عام 2003 في الفيزياء التطبيقية من جامعة دلفت التقنية. بعدها عملت أكثر من عشرين عامًا خارج التعليم: أولًا في معهد TNO للأبحاث التطبيقية، ثم في مكتب تصميم، وأخيرًا مؤسسًا لـ Proportion Global، وأعمل من خلاله على قضايا الابتكار في أفريقيا وأمريكا اللاتينية وجنوب آسيا. هذا العمل أقرب إلى الفيزياء مما تظن: لا تبدأ من الحل، بل افهم أولًا ما الذي يجري، ثم جرّب، وأخطئ، ثم انظر من جديد.
منذ ٢٠٢٦ أدرّس الفيزياء في المرحلتين الإعدادية والثانوية، وبدأت درجة الماجستير في جامعة أمستردام للحصول على مؤهلي الكامل في التدريس. هناك تعلّمت أن انتباه طالب المرحلة الثانوية الحقيقي لمادة جديدة يدوم نحو سبع دقائق. ونقطة ضعفي أنا بالذات هي الإكثار من القصص الجانبية.
من هنا وُلدت الفكرة: فيديوهات تشرح موضوعًا واحدًا بوضوح وبالصورة، ضمن تلك الدقائق السبع. أصنعها لطلابي. ثم أنشرها للجميع، لأن الشرح الجيد يجب أن يكون في متناول كل من يحتاجه، أينما كنت وبأي لغة تفكر وتتكلم.