Déduire les unités d'une formule · revenir aux unités de base

Le problème

0:00Voici ce que je paie pour le gaz, et voici pour l'électricité. Un montant va avec un mètre cube, l'autre avec un kilowattheure. Et la question que tout le monde se pose sans pouvoir y répondre : lequel est le plus cher ? Tu ne peux pas comparer ces deux nombres, car ils ne vont pas avec la même unité.

0:24Et c'est exactement le problème dont parle toute cette vidéo.

Un signe nouveau, qui vaut tout le chapitre

0:32Il y a une abréviation pour "l'unité de". Tu mets des crochets autour de la grandeur. Donc au lieu de "l'unité de longueur est le mètre" tu écris : crochet, l, crochet, égale m. Pourquoi c'est pratique se voit dès que tu as une formule. Une formule n'est qu'une façon abrégée d'écrire une relation entre grandeurs.

0:57Et si les grandeurs des deux côtés sont égales, leurs unités le sont aussi. Autrement dit : tu peux calculer les unités à part, comme un calcul en soi. Et c'est ce que tu apprends aujourd'hui.

L'unité de la vitesse, déduite au lieu d'apprise

1:16Prends la vitesse. Distance égale vitesse fois temps. Donc l'unité de distance est l'unité de vitesse fois l'unité de temps. L'unité de distance tu la connais : le mètre. Celle de temps aussi : la seconde. Donc mètre égale unité de vitesse fois seconde.

1:33Et tu retournes : l'unité de vitesse est le mètre divisé par la seconde. Mètre par seconde. Tu ne l'as donc ni cherchée ni apprise. Tu l'as déduite. Et cela marche pour toute formule que tu rencontres, même pour des formules jamais vues. Encore un mot sur l'écriture.

1:57Mètre par seconde s'écrit avec une barre oblique, ou mètre fois seconde puissance moins un. Les deux veulent dire exactement la même chose. Une puissance négative d'une unité, c'est diviser, comme pour les puissances de dix.

Quelle est l'unité de la masse volumique ?

2:17À toi. La masse volumique est masse divisée par volume. La masse se mesure en kilogramme, le volume en mètre cube. Quelle est alors l'unité de masse volumique ? L'unité de masse volumique est l'unité de masse divisée par l'unité de volume. Kilogramme divisé par mètre cube : kilogramme par mètre cube.

2:42Et regarde ce que cela veut dire. La masse volumique n'est pas qu'un nombre attaché à une matière. C'est littéralement la masse d'un mètre cube de cette matière. L'unité te dit ce qu'est la grandeur. C'est la deuxième raison de prendre les unités au sérieux.

3:03La première : tu peux comparer. La deuxième : tu comprends ce que tu calcules.

Les puissances d'unités

3:11L'aire est longueur fois largeur, deux fois des mètres. Mètre fois mètre fait mètre carré. Le volume est longueur fois largeur fois hauteur, donc mètre puissance trois. Ce n'est pas un hasard. Les règles apprises pour les puissances de dix valent exactement pareil pour les puissances d'unités.

3:32En multipliant tu additionnes les exposants, en divisant tu les soustrais. Et cela vaut pour les formules les moins évidentes. Un cercle, une sphère, un cylindre : quelle que soit la formule, compte combien de longueurs y sont multipliées. Pour un cercle il y en a deux, rayon fois rayon, car pi est un nombre sans unité. Donc mètre carré.

4:03Pour une sphère et un cylindre il y en a trois, donc mètre puissance trois. Si tu trouves autre chose, tu as fait une erreur. L'unité est ton contrôle.

Convertir sans deviner

4:17Retour au début. Deux nombres avec deux unités différentes se comparent en les ramenant d'abord à la même unité. Et pas à l'intuition, mais avec un facteur de conversion. L'exemple classique : kilomètre par heure vers mètre par seconde. Un kilomètre fait mille mètres, et une heure trois mille six cents secondes.

4:42Donc un kilomètre par heure fait mille divisé par trois mille six cents mètres par seconde, soit un divisé par trois virgule six. Donc de kilomètre par heure vers mètre par seconde tu divises par trois virgule six. Dans l'autre sens tu multiplies.

5:03Et si tu ne sais plus dans quel sens : cent kilomètres par heure font environ vingt-huit mètres par seconde. Si tu trouves trois cent soixante, tu as multiplié au lieu de diviser. C'est ainsi que tu vérifies. Le plus sûr : tout mettre d'abord dans les unités de base : mètre, kilogramme, seconde.

5:30Rien ne peut plus rater dans le reste de ton calcul. Et cette facture d'énergie du début ? Tu peux la comparer, mais pas avec ce qui est écrit dessus seulement. Il te faut autre chose : combien d'énergie il y a dans un mètre cube de gaz. Ce nombre, tu dois le chercher.

5:54Et c'est une réponse honnête : parfois, pour répondre à une question il faut aller chercher une donnée. Trois choses. Un : des crochets veulent dire "l'unité de", et avec eux tu peux lire une formule sur les unités au lieu des nombres. Deux : l'unité d'une grandeur se déduit de la formule.

6:18Tu n'as pas à l'apprendre. Trois : l'unité est ton contrôle. S'il en sort autre chose que prévu, l'erreur est dans ton calcul et pas dans ta calculatrice. Deux questions. Un : force égale masse fois accélération, et l'accélération est en mètre par seconde au carré.

6:40Quelle est l'unité de force, en unités de base ? Deux : pourquoi es-tu sûr que le résultat d'un calcul de volume ne peut pas être en mètre carré ? Regarde si tu avais pareil. Un : force égale masse fois accélération. La masse en kilogramme, l'accélération en mètre par seconde au carré.

7:08Ensemble cela fait kilogramme mètre par seconde puissance moins deux. Et cette unité a reçu un nom : le newton. Et deux : le volume est longueur fois largeur fois hauteur. Ce sont trois longueurs, donc mètre puissance trois. Mètre carré n'en a que deux, et c'est une aire.

7:32Si le compte des mètres ne colle pas, le calcul ne colle pas. À partir d'ici tu ne cherches plus jamais une unité. Tu peux la déduire.